极坐标系

想象一座机场塔台。管制员向飞行员报告位置时，说的是"方位 40°，距离 6 公里"，而不是"先向西偏 4.6 公里，再向南偏 3.9 公里"。两种说法指向同一个点，但前者明显更好用：塔台关心的是目标相对自己的方向和远近，而"东西南北各偏多少"要经过一次换算才得到这些信息。方位加距离，绕开的正是换算。

数学里把这套"角度加距离"的定位方式整理成了坐标系，就是极坐标系。它的价值在图形上看得更清楚。下表列出几条曲线在两种坐标系里的处境：

规律是明摆着的：一个图形如果天然是"绕着某个中心旋转"出来的，那么用角度和距离写它，方程就短，含义也直接。反过来，对齐网格的问题（比如矩形、抛物线），直角坐标仍然占优。坐标系是工具，工具没有高下，只有合不合适。

顺带一提这段历史。用角度和距离定点的想法，十七世纪就已经出现：卡瓦列里在十七世纪二十年代用它研究过螺线，牛顿在 1671 年写成的《流数法》手稿里把它列为描述曲线的九种坐标之一。不过它得到今天这个名字要晚得多——"极坐标"（polar coordinates）一词是十八世纪意大利数学家丰塔纳起用的。阿基米德在两千多年前研究螺线时还没有坐标系可用，他用的语言是纯几何的，这从反面说明：有了合适的坐标语言，很多结论会从"难证"变成"显然"。

建立坐标系：四个要素

在平面内取一个定点 O，从 O 引一条射线 Ox，再选定长度单位和角度的正方向，极坐标系就建好了。这四样东西缺一不可，而且各有用处：定点 O 叫极点，是一切距离和角度的参考原点；射线 Ox 叫极轴，是量角度的起点，相当于量角器的零刻度线；长度单位保证"距离 6"对所有人意义相同；角度正方向（通常规定为逆时针）保证"30°"不会被人理解成 −30°。少规定任何一条，坐标就会产生歧义。

用 (ρ, θ) 表示一个点

设 M 是平面内一点。线段 OM 的长度记作 ρ，叫做极径；从 Ox 转到 OM 所成的角记作 θ，叫做极角。有序数对 (ρ, θ) 就是点 M 的极坐标。比如 (5, 30°) 读作"极径 5、极角 30° 的点"，意思是：从极轴出发，逆时针转 30° 得到一条射线，再沿这条射线从极点走出 5 个单位。

这个动作在下面的实验室里可以亲手做：拖动点 M，观察 ρ 和 θ 如何变化。打开「吸附」，点会落在整刻度上，方便你对答案。

一个点，无穷多种坐标

直角坐标里，一个点只有一组坐标。极坐标不是这样：同一个点有无穷多种写法。原因有两个。

其一，极角转整圈，位置不变。角 30° 和角 390° 的终边是同一条射线，所以 (5, 30°) 与 (5, 390°) 是同一个点，写成一般形式就是 (ρ, θ + 2kπ)。

其二，也是更让人意外的一个：极径可以取负数。负号不表示"距离为负"——距离没有负的——它表示沿反方向走。(−5, 30°) 的意思是：转向 30° 的方向后，倒退 5 个单位，结果落在 (5, 210°) 那个位置。于是一般地有 (−ρ, θ + π) 与 (ρ, θ) 表示同一点。上面实验里右侧列出的四种写法，说的就是这件事；打开「直角投影」再观察负角虚线一侧，会更直观。

无穷多种写法灵活，也麻烦。判断 (2, 60°) 与 (−2, 240°) 是否表示同一点时，许多人的第一反应是"ρ 都不同，当然不是"，而正确答案恰恰是"是"——把后者按规则改写：(−2, 240°) = (2, 240° − 180°) = (2, 60°)。考试里这类判断题的错误率很高，原因往往是拿直角坐标的直觉来比大小。稳妥的做法是先统一成 ρ > 0 的标准形式，再比较极角。

两套坐标系描述的是同一个平面，点本身没变，变的只是"报位置的语言"，所以互化理应可行。可行的前提是两个坐标系摆放得当，具体说三条：极点与原点重合，极轴与 x 轴正半轴重合，两者单位长度相同。三条各自都有意义——极点不与原点重合，距离的原点就错位；极轴方向不对，所有角度整体偏移；单位不同，距离差一个倍数。教材在给出公式前总要先交代这三条，不是客套话。

前两个公式的来历一眼可见：以极点为原点作直角三角形，水平直角边是 ρ 在 x 方向上的投影 ρ cos θ，竖直边是 ρ sin θ。第三个就是勾股定理。真正需要花力气的是第四个。

问题出在正切函数的周期是 π。给定 tan θ 的值，θ 有两个相差 180° 的候选，正切本身分不清它们。举个具体的数：点 (−1, √3)，算得 tan θ = √3 ÷ (−1) = −√3。按计算器的 arctan 得 −60°——但这个点在第二象限，真正的极角是 120°，两者恰好差 180°。原因在于 arctan 的值域只有 (−90°, 90°)，它只会把答案放在第一或第四象限，永远"看不见"第二、三象限的点。所以由 tan θ 反求 θ 时，先看横纵坐标的符号定象限，再在两个候选里挑正确的一个。这一步是本节最容易失分的地方。

一条曲线的极坐标方程，是"曲线上所有点的 (ρ, θ) 共同满足"的等式。求法与直角坐标一致：设曲线上任一点为 M(ρ, θ)，找一个对曲线上每点都成立的几何关系，把它写成 ρ 与 θ 的等式。直线和圆是最基本的六种情形，列在下表里，a 均为正数：

关于 θ = α 与"完整直线"的关系，值得多说一句。规定 ρ ≥ 0 之后，θ = α 只能取到从极点出发的一条射线；这条射线关于极点的对称部分，极角是 α + π。所以"一条直线"有两种等价写法：允许 ρ 取负，写 θ = α 一个式子；或者坚持 ρ ≥ 0，写 θ = α 与 θ = α + π 两条。教材两种写法都出现，见到时要先看题目对 ρ 的约定。下面的实验里，虚线一侧就是 ρ < 0 的部分。

两个观察建议。其一，选 ρ = 2a·cos θ 并播放：动点在圆上转一圈，连接极点与动点的红色线段长度就是 ρ，它在 θ = 0° 时最长、θ 趋近 90° 时缩为零——正合 cos θ 的变化。其二，选 θ = α 并把 α 调过 90°，观察虚线与实线如何互换角色。

极坐标真正大放异彩的地方，是下面这几类曲线。它们的直角坐标方程要么写不出，要么写了也看不出形状；在极坐标里，每个方程都只有一行，而且每个参数的含义都摸得到。逐一说明之后，实验室里可以逐条验证。

玫瑰线：ρ = a·sin(nθ)

形如花瓣的曲线，n 是瓣数参数。规律是：n 为奇数时恰有 n 瓣，n 为偶数时有 2n 瓣。这个"奇偶差别"常被当成需要死记的结论，其实有原因。考虑 θ 增加 π 前后发生的事：sin(n(θ+π)) = sin(nθ + nπ) = (−1)ⁿ·sin(nθ)。当 n 是奇数，式子多出一个负号，意味着后半圈的曲线恰好是前半圈"极径取负"的重描——而极径取负画的是同一条曲线，所以 θ 从 0 到 π 已经把图形画完整了，共 n 瓣。当 n 是偶数，没有这个负号，后半圈描出的是全新的半边图形，必须转满 2π，于是有 2n 瓣。第三节的"负极径"知识在这里派上了用场。

心形线：ρ = a(1 ± cos θ)

轮廓像心形的封闭曲线，尖点位于极点，离极点最远处的距离是 2a。cos 版本左右对称，sin 版本上下对称；加减号决定"鼓包"朝哪个方向。四种写法在实验室里一键切换。它的来历放在下一节：一个小圆贴着同样大小的大圆滚动，圆上一点的轨迹就是它。

蚶线：ρ = a + b·cos θ

在心形线的骨架上多一个参数，形状随 a 与 b 的大小关系分四种：b > a 时曲线内部自交出一个小环（这个环是 ρ 取负值的那一段画出来的）；b = a 时小环收缩成尖点，退化为心形线；b < a < 2b 时没有小环，但靠极点处凹进去一块；a ≥ 2b 时连凹陷也没有，成为卵形。参数从"形状的开关"变成了"形状的旋钮"。

等速螺线：ρ = aθ

极径与极角成正比。转动是匀速的，外扩也是匀速的：θ 每增加 2π（转一整圈），ρ 恰好增加 2πa，所以相邻两圈间距恒定，这是"等速"二字的来历。机械上的凸轮常把它做轮廓：轴匀速转动时，贴着凸轮的从动杆被螺线匀速顶起——匀速旋转就这样变成了匀速直线运动。缝纫机上绕线、唱片上音轨的排布，也是同一种螺线。

双纽线：ρ² = a²·cos 2θ

横放的"8"字。留意方程左边的 ρ²：它非负，所以必须有 cos 2θ ≥ 0，即 θ ∈ [−45°, 45°] ∪ [135°, 225°]。在这两个区间之外，方程根本不给 ρ 的实数值——曲线不是"画不到"，而是"方程不允许"。实验里动点会直接跳过这些角度。曲线关于极点、极轴、直线 θ = 90° 都对称，这一点也来自方程的对称性。

三个观察任务

第一，在玫瑰线里把 n 依次调成 1、2、3、4，记下每种情况的瓣数，回过头核对上面的推导。第二，在蚶线里把 a 从 0.5 慢慢拉到 4（b 固定），注视图形经过"内环、心形、凹陷、卵形"的完整过程，找到心形出现的那个瞬间。第三，切到双纽线播放描迹，确认动点跳过的角度区间正是 cos 2θ < 0 的区间。

第五节说心形线"是 rolling circle 的产物"，现在兑现这句话。取一个半径为 r 的小圆，让它沿着半径为 R 的大圆的外侧滚动，滚动时两者只接触、不滑动——像硬币沿着另一枚硬币边缘滚。小圆上（也可以是圆内或圆外）某个定点 P 走出的轨迹，叫做外摆线。

"无滑动"是个值得停留片刻的条件。它意味着任意时刻，小圆沿大圆滚过的弧长等于大圆上被接触过的弧长，两段弧长相等，小圆的自转角因此被完全确定：若接触点转过角度 t，小圆自转了 (R + r)/r · t。P 的位置由这两个角度叠加决定，参数方程由此写出；第五节那些形状各异的曲线，全都从这两行式子里长出来。

最漂亮的特例是 R = r：两枚一样大的硬币，一枚沿着另一枚滚，边缘上一点的轨迹恰好是心形线。把极点移到轨迹的尖点处，这条曲线的方程正具有 ρ = 2R(1 − cos θ) 的形式，正是第五节里 a = 2R 的心形线。R = 2r 时得到两尖的肾形线；R 是 r 的整数倍 k 时，得到 k 尖的外摆线。比率不是整数时曲线更晚闭合——闭合所需圈数由比率约分后的分母决定，实验的读数栏会直接显示。

三件事可以做。把 d 调到 0，P 与动圆圆心重合，轨迹退化成一个圆——曲线的"花样"全部来自 P 偏离圆心的那段距离。把 d 调到大于 r，P 跑到小圆外面，轨迹出现自交的小环，这叫长幅外摆线；d 小于 r 则叫短幅，尖点变圆滑。再把 R 调成 2.5，看曲线转两圈才闭合，并对照读数栏里显示的圈数。

前几个实验的方程都是给定的。这一节把方程的书写权交给你：输入任意一个 ρ 关于 θ 的表达式，曲线实时画出，三个系数 a、b、c 绑在滑块上，θ 的范围可以拉长，用来观察螺线或者不闭合的曲线。

预设里有两条值得单独说。对数螺线 ρ = a·e^(0.15θ) 与等速螺线只差在"每圈外扩的量"上：等速螺线每圈等距，对数螺线每圈按固定比例放大——向日葵种子、鹦鹉螺壳、漩涡星系走的都是这一条，生物按比例生长，几何形状就按比例复制自己。双纽线那一条则演示了"方程不给值"的画法：sqrt 收到负数时返回空，绘图器在那些角度直接断笔。

十道题覆盖全课要点，答完立即给解析。建议先把六个实验室都玩过一遍再来，正确率会明显不同。

互化公式

曲线速查

课后思考

• 基础同一个点有无穷多种极坐标，这给"用方程表示曲线"带来了什么便利，又带来什么麻烦？提示：便利想想玫瑰线只需一个式子；麻烦想想"判断某点是否在曲线上"时，代入一组坐标不够。
• 基础在实验三里分别播放 ρ = 2a cos θ 与 ρ = 2a sin θ 的动画，说明为什么两个圆都过极点，圆心分别在哪里，并用第四节"同乘 ρ"的办法把 sin 版也化成直角坐标方程验证。
• 进阶玫瑰线取 n = 0.5，用实验四或实验六画图。它闭合吗？θ 转到多少才能回到起点？为什么"奇偶规律"只对整数 n 成立？
• 进阶证明双纽线 ρ² = a² cos 2θ 关于极轴、关于极点、关于直线 θ = 90° 都对称。办法是把 (ρ, θ) 依次换成 (ρ, −θ)、(−ρ, θ)、(ρ, π − θ)，逐一检验方程不变。
• 挑战设计一个凸轮：轴匀速转动时，从动杆先匀速上升 5 毫米，再突然落回。用实验五（或实验六）估一估：轮廓线需要 θ 覆盖多大范围，参数 a 取多少合适。

坐标系是看世界的另一副眼镜。同一片平面，直角坐标看见网格与投影，极坐标看见半径与旋转。下次遇到绕着中心生长的图形，不妨先想一想：它用角度和距离说，会不会更短。

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