Frank Math Labs · 课程 04

微积分视角下的圆锥曲线

椭圆、抛物线、双曲线——两千年前希腊人用一把刀切圆锥就认识了它们。这门课换一件工具重访：前两门课攒下的导数。曲线静止时是几何，一旦问起切线、速度、弯曲程度，它就开始运动，而微积分正是处理运动的语言。光学性质、开普勒式的快慢、渐近线的"追不上"，都将在屏幕上变成可以动手验证的事实。

从第一节开始六个交互实验室建议先修：微分基础支持手机与深色模式

学完这门课，你应当能够

用"隐函数求导"写出椭圆在任一点的切线斜率，并解释焦点光学性质；
由参数方程求出速度向量与速率，指出椭圆上跑得最快与最慢的位置；
说明抛物线把平行光汇聚到焦点的数学原因（切线平分夹角）；
写出双曲线的渐近线，并解释"无限接近、永不相交"；
理解曲率与密切圆的含义，记住椭圆顶点处的曲率半径结论。

一把刀切出来的三种曲线

取一双对顶的圆锥。用平面去截：平面切得平缓，截口是椭圆；切到与母线恰好平行，截口张开了口，是抛物线；切得更陡、同时穿过对顶的另一半，截口裂成两支，是双曲线。圆形与直线只是两个极端情形（平面水平放、竖直贴着母线放）。三种看似不同的曲线同出一源——这既是它们名字的由来，也预告了第 05 门课的主题：它们共享同一个方程。

静态的几何，希腊人已经研究得极透。这门课要补的是"动"的部分：光沿曲线反射走哪条路？点沿曲线跑多快？曲线哪里弯得厉害？每一个问题都要用导数回答。建议先修完课程 02，至少熟悉"导数 = 切线斜率"这一句。

注三种曲线的直角坐标方程各守一形：椭圆 x²/a² + y²/b² = 1，抛物线 y² = 2px，双曲线 x²/a² − y²/b² = 1。本课直接在这些方程上做微积分，凡 a、b、p 均为正数。

丹德林球：焦点是"切"出来的

切口为什么偏偏带有焦点？1822 年，比利时数学家丹德林给出了一个漂亮的回答：往锥面与切面之间塞球。这样的球恰好放得下，而且同时与锥面、切面相切——椭圆的情形能放两枚。球与切面相切的那一点，就是截曲线的焦点；球与锥面相切所得的圆，其所在平面与切面的交线，就是准线。

证明的核心只有一句初中几何：从一点向一个球引切线，所有切线等长。曲线上任一点 P，到球的两条切线一条沿母线、一条在切面内（后者终点正是焦点），于是 P 到两焦点的距离可以"搬"到同一条母线上去相加——而母线夹在两个切点圆之间的那段长度与 P 无关。和为定值，由此得证。

实验六 · 双球模型

3D 全景 · 拖动旋转 · 滚轮缩放

过轴剖面 · 球与锥

切面视图 · 截得的曲线

左图调切面 · 右图拖动 Q · 滚轮缩放

三视图的读法。上方 3D 全景给出整体：对顶圆锥、两枚球、半透明的切面，拖动即可环绕观察。左下是过轴的剖面，两枚琥珀色球夹在锥面与切面之间，粉色直线是切面，球与切面的切点 F₁、F₂ 就是右下视图里曲线的焦点；读数中的"P→F₁ + P→F₂ = T₁T₂"是前述证明的现场，绿色线段正是母线上夹在两球之间的定长。拖动切面倾角 α，曲线先变扁、再变圆（α = 0 时两枚球的切点重合）、跨过临界角后裂成双曲线的两支，而每一刻右图的焦点都严格等于左图的切点。按「巡游」，右图的 Q 点会带着两条焦半径跑遍整条曲线。

椭圆：切线与光学

椭圆方程里 y 藏在平方之下，解出 y 再求导既繁琐又丢支线。更好的办法是隐函数求导：把 y 看作随 x 变化的函数，方程两边同时对 x 求导，得 2x/a² + 2y·y'/b² = 0，于是切线斜率 y' = −b²x/(a²y)。一行搞定，连 y 的表达式都不必写出。

这条切线藏着一个惊人的物理事实：它把 P 与两焦点连线所成角的外角平分。由光的反射定律（入射角 = 反射角），从一枚焦点发出的光在椭圆壁上反射后，必然落进另一枚焦点。椭圆的"距离之和恒为 2a"是原因，光学性质是它的影子。

实验一 · 切线与光学

拖动 P · 播放巡游 · 拖 a、b 改形状

两件观察：拖动 P 时 |PF₁| + |PF₂| 的读数纹丝不动——这就是"定义即不变量"；关闭光学开关后读数栏给出切线斜率的具体数值，可拿铅笔对顶点处验算（顶点处 y₀ = 0，切线竖直）。

椭圆上的运动：速度

给椭圆装上钟：点按参数方程 (a·cos t, b·sin t) 运动。参数 t 匀速推进，但实际速率不匀——对位置求导得速度向量 (−a·sin t, b·cos t)，它的模长在椭圆各处不同。导数把"跑多快"从一个感觉问题变成了可计算的量。

实验二 · 速度向量

播放 · 观察箭头长短与方向

开轨迹播放，盯住那支红色箭头：经过左右顶点时最短（速率为 b），掠过上下顶点时最长（速率为 a）。速率大的地方恰好是离中心近的地方——这份"近快远慢"的直觉，正是行星运动的开普勒图景，第 05 门课会把严格的"面积速度恒定"补上。

抛物线：把平行光聚成一点

抛物线 y = x²/4f 的焦点在 (0, f)，准线是 y = −f。它最著名的本领：凡是平行于对称轴射来的光线，经抛物面反射后全部汇聚到焦点。太阳灶把阳光烧成一团火，射电望远镜把星体信号聚到接收器，车灯则反过来把灯珠的光投成平行光柱——同一条数学性质的两面。

原因在切线。y = x²/4f 的导数是 y' = x/2f，几何上可以证明：这条切线恰好平分"入射光线"与"反射后到焦点的连线"的夹角，于是按等角反射定律，光只能走聚焦那条路。而"到焦点距离 = 到准线距离"本身就是抛物线的定义——光学性质又一次是定义的影子。

实验三 · 平行光聚焦

播放扫光 · 拖 f 改开口

调一调 f：焦距越大，碗口越浅、焦点越远；越小则碗越深、焦点越贴顶点。无论怎么调，五束平行光始终一丝不苟地汇进焦点——导数保证的秩序。

双曲线：一条追不上的直线

双曲线 x²/a² − y²/b² = 1 有两支，向远处奔去时越来越贴近两条直线 y = ±(b/a)x——渐近线。它们穿过参考矩形 (±a, ±b) 的对角线，是画双曲线的骨架。更严谨的问题是：到底能贴多近？答案是"任意近，但永不相交"。把 y = (b/a)x 代回双曲线方程，得到 0 = 1——矛盾说明交点根本不存在。

实验四 · 渐近线

拖动 P 向远处 · 播放自动远行

读数里的"竖直间隔"是 P 到渐近线的竖直落差。播放"远行"，间隔一路缩小却不归零——极限思想在曲线身上的具象演出。调 a、b 的比值，渐近线随之变陡变缓：双曲线的"张开程度"完全由这个比值决定。

弯到什么程度：曲率与密切圆

直线不弯，圆处处弯得均匀——弯与不弯之间如何度量？微积分的回答朴素而深刻：在曲线上每一点，找一个与它贴得最紧的圆（经过该点、切线相同、弯曲程度相同——技术上由二阶导数决定），叫密切圆；这个圆的半径越小，曲线在该处弯得越凶。半径的倒数就叫曲率。

对参数曲线，曲率有现成公式 κ = |x'y'' − y'x''| / (x'² + y'²)^{3/2}。代进椭圆 (a·cos t, b·sin t)，分子恰好化简成常数 ab，分母随 t 变化：长轴端 (±a, 0) 处曲率最大（最弯），曲率半径 R = b²/a；上下顶点处最平，R = a²/b。椭圆越扁，长轴两端越"尖"。

实验五 · 密切圆

拖动 P · 播放 · 看"贴身圆"胀缩

播放时追随那枚琥珀色的圆：在长轴两端它缩成小杯口（最弯），滑向上下顶点时膨胀成大轮盘（最平）。把 b 拉到最小、a 拉到最大，椭圆扁成一条细船，两端的密切圆小得几乎捏成尖点——"扁"与"尖"原来是同一个词。

例题

例一 · 隐函数求导求切线

求椭圆 x²/9 + y²/4 = 1 在点 (3/2, √3) 处的切线方程。

解答

一

两边对 x 求导（y 是 x 的函数）：2x/9 + 2y·y'/4 = 0，得 y' = −4x/(9y)。

二

代入 x₀ = 3/2，y₀ = √3：斜率 = −4×(3/2)/(9√3) = −2/(3√3) = −2√3/9。

三

点斜式：y − √3 = −(2√3/9)(x − 3/2)，整理得 y = −(2√3/9)x + 4√3/3。

练习：用"切线公式" x·x₀/a² + y·y₀/b² = 1 直接写切线并核对。

x·(3/2)/9 + y·√3/4 = 1，即 x/6 + √3y/4 = 1。解出 y 与上式一致。这个公式就是隐函数求导结果的"成品版"。

例二 · 渐近线与位置

双曲线 x²/4 − y²/9 = 1 的渐近线是什么？点 (4, 3√3) 在曲线上吗？

解答

一

a = 2，b = 3，渐近线 y = ±(3/2)x。

二

代入 (4, 3√3)：16/4 − 27/9 = 4 − 3 = 1 ✓ 在曲线上（右支）。

三

渐近线在 x = 4 处高度为 6；曲线高度 3√3 ≈ 5.196。间隔 ≈ 0.8，且随 x 增大继续缩小。

练习：b 增大时渐近线更陡还是更缓？

更陡（斜率 b/a 变大）。虚半轴越长，双曲线张得越开，"逃逸"得越快。

例三 · 顶点曲率半径

验证：椭圆 x²/a² + y²/b² = 1 在点 (a, 0) 处的曲率半径为 b²/a。

解答

一

参数形式 (a·cos t, b·sin t)：x' = −a·sin t，x'' = −a·cos t；y' = b·cos t，y'' = −b·sin t。

二

分子 |x'y'' − y'x''| = |ab·sin²t + ab·cos²t| = ab（恒定！）；分母 (a²sin²t + b²cos²t)^{3/2} 在 t = 0 处为 b³。

三

κ(a,0) = ab/b³ = a/b²，故 R = b²/a ✓。同法得 (0, b) 处 R = a²/b。

练习：圆（a = b = r）的曲率半径处处是多少？

R = b²/a = a²/b = r。公式退化成"圆的曲率半径就是半径"——贴合直觉，也说明曲率是半径概念的推广。

自测

十一道题。第 1、3、9 题是本课的三根柱子：距离和、隐函数求导、曲率半径；第 11 题考双球模型。

第 1 / 10 题得分 0

小结与速查

三条曲线 · 三件微积分事实

曲线	方程	微积分视角下的事实
椭圆	x²/a² + y²/b² = 1	切线斜率 −b²x₀/a²y₀；光学聚焦；顶点曲率半径 b²/a（最弯）、a²/b（最平）；速率上下顶点最大
抛物线	y = x²/4f	切线斜率 x/2f 平分入射角，平行光聚焦；到焦点与到准线距离恒等
双曲线	x²/a² − y²/b² = 1	渐近线 y = ±(b/a)x；竖直间隔趋于零、永不相交

方法要点

隐函数求导y 当作 y(x)，两边对 x 求导

速度 = 位置的导数参数方程逐分量求导

κ = |x'y''−y'x''| / (x'²+y'²)^{3/2}参数曲线曲率公式

课后思考

基础实验一关闭光学开关，用读数栏的斜率公式分别在四个顶点附近估算切线方向，解释为什么公式在 y₀ = 0 时"失效"（答案：切线竖直，斜率不存在）。
进阶实验二中把 a、b 对调（a < b，竖椭圆），速度最值的两个位置是否交换？速率最大值变成多少？
挑战证明抛物线切线平分夹角：设 P(x₀, y₀) 在 y = x²/4f 上，写出切线斜率 x₀/2f，再用入射方向 (−1, 0) 与"指向焦点"方向的角度比较（可用 tan 的夹角公式，或直接在实验三里用量角器目测验证）。

用导数看曲线，几何命题纷纷变成计算题。但这条路线绕开了一个问题：三种曲线虽有各自方程，却好像缺一个统一的"户口"。下一门课回到极坐标——那里一个方程就写尽了它们的身世。

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