Frank Math Labs · 课程 02
优雅地学会微分基础
导数回答一个问题：此刻变化有多快。速度表读的是瞬时速度，可是速度本身由"位移除以时间"而来——除法需要两段时间，而"此刻"没有长度。整门课就是解决这个矛盾：先用两段，再让两段一起缩为零。五个实验室把这条路铺开，你只管在上面走。
学完这门课，你应当能够
- 说清平均变化率与瞬时变化率的区别，并写出导数的定义式；
- 看到 f(x) 的图像，随手画出 f'(x) 的大致形状（反之亦然）；
- 用幂法则与线性组合法则求多项式的导函数；
- 由 f' 的符号说出单调区间，找出极值点，并知道"f' = 0"为什么只是候选；
- 把一道应用题（比如折盒）翻译成"设变量、写函数、求导、定最值"四步。
从平均速度到瞬时速度
一辆车两小时走了 120 公里，平均速度每小时 60 公里。这句话人人会算，也人人都信。可是仪表盘上的速度表在每一瞬间都有读数：红灯前是 0，高速上是 110。速度表量的是什么？它没有等两小时，它量的几乎是"这一秒"甚至"这一毫秒"的位移除以对应的时间。
麻烦就出在这里。位移 ÷ 时间，除法需要两段确定的量；而"此刻"前后取多长的一段时间，读数都不太一样：取一秒，你得到这一秒的平均；取一毫秒，得到更细的平均。时间段越取越短，读数越来越稳定——它趋于一个确定的数。这个数不是任何一段时间的平均速度，我们把它叫作瞬时速度。
把"位移"换成任何随 x 变化的量 f(x)，同样的追问就变成数学问题：Δx 越取越小，平均变化率 Δy/Δx 趋向什么？这个极限，就叫 f 在这一点处的导数。整门课的所有内容，都是这个想法在不同场合的回声。
导数的定义
直觉上的准备做完了，现在把它写成定义。先用两段说话：函数 f 在 x₀ 附近取一点 x₀ + h，两点的平均变化率是：
Δy / Δx = [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h
它有一个直白的几何身份：过曲线上两点的割线的斜率。现在让 h 缩向 0——点 Q 沿曲线滑向点 P，割线绕着 P 转，最终停在一条极限位置上，这就是切线。切线的斜率，就定义为 f 在 x₀ 处的导数，记作 f'(x₀)。
下面这个实验室把整个过程放在你手里：P 可以沿曲线拖动，h 可以调，也可以按播放让 Q 自动滑过来。盯着左上角读数里的"差"——它就是你每次缩小 h 时剩下的残余。
两点提醒。第一，切线在这里是极限位置，不是"过一点的任意直线"，更不是"与曲线只碰一次的直线"——后一种说法在 x³ 这类曲线上会出错。第二，h 可以取负：Q 从左边滑过来，极限相同，所以定义只要求 h 缩向 0，从哪边缩都行。
导函数
上一节求的是"某一点处"的导数。要是把每个点的导数都求出来，按 x 排好，就得到一个新的函数，导函数 f'(x)。原函数说"每个位置有多高"，导函数说"每个位置往上爬多快"，一静一动。
导函数最值得看的地方是它可以被直接画出来。下面的实验做这件事：动点沿着 f 走，每走到一处，就把"这里的切线斜率"作为高度描一个红点；红点连成的虚影，就是 f' 的图像。播放一遍 x² 的情形——一条过原点的直线，f 的弯曲快慢一目了然。
顺带把最常用的几个导数放进口袋。它们都能用定义硬算出来（下节课例题里算一次 x² 给你看），先记住、再用实验验证：
| f(x) | f'(x) | 一句话解读 |
|---|---|---|
| c（常数） | 0 | 水平线没有斜率 |
| x | 1 | 45° 直线，斜率恒 1 |
| x² | 2x | 越往两边越陡 |
| x³ | 3x² | 同上，更陡 |
| 1/x | −1/x² | 负的，且绝对值随 x 缩小 |
| √x | 1/(2√x) | 起点处最陡，之后越来越平 |
求导法则
上一节的导数表覆盖了单个的幂函数，再配三条运算法则，所有多项式就都能对付了。法则不是凭空规定的，逐条都能用定义验证；本课只验证最省力的一条，其余交给实验。
常数倍：(C·f)' = C·f'。把曲线竖直拉伸 C 倍，每处的坡度自然也是 C 倍。和：(f + g)' = f' + g'。两条曲线叠在一起，升降各自贡献，互不干扰。幂法则：(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹。这一条的完整证明要展开 (x+h)ⁿ，属于代数苦功，本课先用后证。
合起来：f(x) = a·x² + b·x + c 的导数是 f'(x) = 2a·x + b。下面的实验里随意拖三个系数，盯住两件事：其一，导函数永远是一条直线；其二，常数 c 无论怎么动，导函数都纹丝不动。
一种好玩的玩法：把 a、b 都固定，只调 c。蓝线（f）上下平移，绿虚线（f'）一动不动。平移不改变坡度，这是"常数导数为零"最直观的证法。
单调性与极值
导数是"爬升速度"，于是符号立刻有了含义：f' > 0 的地方函数上升，f' < 0 的地方下降，f' = 0 的地方切线水平——上升与下降在此交换岗位，曲线出现峰或谷，这就是极值。判定极值的严格手续是：先找 f' = 0 的点（候选），再看导数是否变号（定案）。
以这一族最经典的函数为例：f(x) = x³ − 3a·x。它的导数 f'(x) = 3x² − 3a 在 a > 0 时有两个零点 x = ±√a，一左一右把数轴分成三段：左段升、中段降、右段升——峰谷分明。下面的实验把 f 与 f' 画在同一张图上，绿影是 f' > 0（上升区），红影是 f' < 0（下降区），两枚琥珀色圆点标出极值。
优化：把"最好"算出来
极值理论最实用的舞台是优化：一张边长 L 的正方形纸，四角剪去边长 x 的小方块，折成无盖纸盒。剪得越深盒越高，但底越小，于是容积 V 先增后减，中间必然有个最好的剪法。问题是：它在哪里？
老办法是试，可试不出"为什么"。导数的办法是建模型：盒高 x、底边长 L − 2x，于是 V(x) = x(L − 2x)²，定义域 0 < x < L/2。求导得 V'(x) = (L − 2x)(L − 6x)，令其为零得两个候选：x = L/2（退化成零容积）与 x = L/6。端点容积都是零，所以最大值必在 x = L/6 —— 剪去边长的六分之一，与 L 无关。
把 L 从 6 拉到 20，最优剪法始终停在 L/6，只是容积按 L³ 增长。最优"比例"与尺寸无关——这是建模才能给出的洞察，试错法只能碰巧撞见它。
例题
用定义证明 (x²)' = 2x。
解答
练习：用定义求 f(x) = 3x + 1 的导数。
已知 f 的图像在 x = 2 处达到峰顶，在 x < 0 时下降、0 < x < 2 时上升。问 f'(0) 与 f'(2) 的符号，并指出极小值点的位置。
解答
用周长 36 cm 的铁丝弯成一个矩形，边长取多少时面积最大？
解答
自测
十道题覆盖全课。做完若不过关，回实验一和实验四再玩一圈，这两处承载了本课八成的理解。
小结与速查
定义与含义
求导速查
| 法则 / 公式 | 内容 | 备注 |
|---|---|---|
| 常数 | (c)' = 0 | 水平线斜率为零 |
| 幂法则 | (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ | n 可为分数、负数 |
| 常数倍 | (C·f)' = C·f' | 竖直拉伸 C 倍 |
| 和差 | (f ± g)' = f' ± g' | 逐项求导 |
| 极值判据 | f'(x₀)=0 且变号 | 只等于零不算数 |
课后思考
- 基础实验二里切换三种函数，观察"峰谷 ↔ 导函数穿轴"的对应。反过来：若 f'(x) 的图像是一条水平线 y = 2，f 是什么样的函数？（提示：每处坡度都是 2。）
- 进阶折盒问题里，为什么最大值不可能出现在端点 x = 0 或 x = L/2？用容积的物理意义说一遍，再用"端点导数不为零"的代数理由说一遍。
- 挑战把例三的"周长固定矩形"换成"对角线固定矩形"（对角线长 c），面积最大的还是正方形吗？用导数验证你的猜想，并比较两种情形的最大面积公式。
导数把"变化"变成了可以计算的量。下一门课里，它的逆运算——积分——将把"累积"变成同样的东西；两者相遇的地方，是整座微积分大厦的拱顶石。